Первым делом надо разрешить удаленный доступ к БД в панели управления хостингом, я подключал timeweb, там это делается во вкладке «Базы данных MySQL». Справа от подключаемой базы есть кнопка "Добавить доступ", нажимаем ее и вводим IP с которого хотим подключаться к БД. Если IP у вас динамический, то его придется менять каждый раз. После введения IP он появится чуть выше кнопки. Для надежности я изменил к нему пароль, повторив пароль доступа с localhost, возможно этого делать не надо, а может и надо, по другому я не проверял.

Служба поддержки дала мне такие инструкции:

Далее, для подключения используйте следующие параметры:

hostname: nubes.timeweb.ru (это мой хост, у вас наверняка другой)
порт: 3306, стандартный.

 Так у меня не заработало, пришлось подключать через SSH. Для этого SSH доступ должен быть включен у провайдера, а включается он по запросу.

Для создания подключения к базе данных в PHPStorm откройте окно работы с БД, в меню View — Tool Windows — Database. В открывшейся вкладке кликните плюсик для создания нового подключения, в выпадающем меню выберите Datasource — MySQL. В открывшемся окне введите настройки:

• Host: localhost
• Port: 3306
• Database: имя_базы_данных
• User: пользователь_базы_данных
• Password: пароль_базы_данных

Далее нажмите кнопку «Configure SSH» и ведите в открывшемся окне следующие данные:

• Use SSH Tunnel — поставить галку
• Proxy Host: nubes.timeweb.ru (хост, на котором располагаются мои сайты)
• Proxy User: Пользователь, у меня он совпадает с пользователем панели управления
• Auth type: Password
• Proxy Password: пароль пользователя.

После ввода всех данных можно нажать кнопку «Test Connection» и, если все ввели правильно, то коннект состоится. Если возникли проблемы с подключением, то, возможно, у вас, как и у меня, небыли установлены драйверы MySQL, о чем у меня было написано в нижней части окна, чуть выше кнопок, и дана ссылка, при клике на которой драйвера загрузились и установились.

Работа с базой данных в PHPStorm оказалась удобной и полноценной, можно посмотреть структуру таблиц, их содержимое, а так-же делать любые запросы, phpMyAdmin можно не открывать.